Lý thuyết vĩ đại của thiên tài triết học gầy gò này đã khuất phục những bộ óc vĩ đại nhất của thế kỷ 20, và cứu giữ lấy ý tưởng rằng có những chân lý mà con người không thể chứng minh.
Định lý Bất toàn của Gödel xếp ngang hàng với Thuyết tương đối của Einstein và Nguyên lý bất định của Heisenberg.
Mặc dù chẳng bao giờ hiểu được công trình của các học giả nhưng chúng ta vẫn có xu hướng biến họ thành những hình ảnh văn hóa quen thuộc, ví dụ lối ăn mặc cổ lỗ và kiểu cách của Bertrand Russell, cũng như gương mặt thân thiện và mái tóc bạc dựng đứng của Einstein. Quả thực, nhiều thập kỷ sau khi đưa ra Thuyết tương đối, Einstein nổi tiếng đến mức được mời làm Tổng thống Israel (vị trí chủ yếu mang tính nghi lễ) trong khi ông lão Russell được các đài phát thanh và truyền hình mời phát biểu về đủ thứ, từ chủ nghĩa cộng sản tới son môi nên dùng cho phụ nữ. Tất nhiên, người ta mời ông không phải vì ông là một chuyên gia về những chủ đề đó, mà vì thời trẻ ông đã viết ra những thứ khó hiểu về logic toán và triết lý của toán học. Tác phẩm nổi bật nhất trong số đó, Principia Mathematica, trong đó ông và đồng tác giả Alfred North Whitehead đưa ra một hệ logic xây dựng từ tiên đề với hy vọng từ đó xây dựng số học, rồi toàn bộ toán học, được chính các chuyên gia trong ngành coi là cực khó.
Nhà logic học và triết học Kurt Gödel đạt đủ tiêu chuẩn Einstein/Russell: công trình của ông mang tầm quan trọng không thể bàn cãi, nhưng cũng vô cùng khó hiểu. Để chứng minh ông xứng đáng là một nhân vật nổi tiếng ngang với Einstein và Russell, ta có thể chỉ ra đóng góp quan trọng của ông cho việc diễn giải thuyết tương đối của Einstein, hay việc phủ định công trình tâm huyết nhất của Russell. Và cái tên Gödel được thừa nhận nhiều hơn là ta tưởng. Năm 1999, trong một cuộc thăm dò ý kiến bạn đọc của tạp chí Time về 20 nhà tư tưởng có ảnh hưởng lớn nhất thế kỷ 20, Gödel, người thường được mô tả là “nhà logic quan trọng nhất kể từ Aristotle,” xếp thứ chín, trước nhà kinh tế học Keynes, hai nhà khoa học phát hiện ra cấu trúc DNA – Watson và Crick, và cha đẻ của mạng toàn cầu, Tim Berners-Lee (Einstein dẫn đầu danh sách này).
Nhà logic học và triết học Kurt Gödel đạt đủ tiêu chuẩn Einstein/Russell: công trình của ông mang tầm quan trọng không thể bàn cãi, nhưng cũng vô cùng khó hiểu. Để chứng minh ông xứng đáng là một nhân vật nổi tiếng ngang với Einstein và Russell, ta có thể chỉ ra đóng góp quan trọng của ông cho việc diễn giải thuyết tương đối của Einstein, hay việc phủ định công trình tâm huyết nhất của Russell. Và cái tên Gödel được thừa nhận nhiều hơn là ta tưởng. Năm 1999, trong một cuộc thăm dò ý kiến bạn đọc của tạp chí Time về 20 nhà tư tưởng có ảnh hưởng lớn nhất thế kỷ 20, Gödel, người thường được mô tả là “nhà logic quan trọng nhất kể từ Aristotle,” xếp thứ chín, trước nhà kinh tế học Keynes, hai nhà khoa học phát hiện ra cấu trúc DNA – Watson và Crick, và cha đẻ của mạng toàn cầu, Tim Berners-Lee (Einstein dẫn đầu danh sách này).
Cái tên Gödel vẫn còn được nói đến chủ yếu do tầm quan trọng mang tính nền tảng của “định lý Không đầy đủ thứ nhất” (còn gọi là “Định lý Bất toàn” – ND) của ông: các hệ xây dựng từ tiên đề, như Principia Mathematica của Russell và Whitehead, không thể chứng minh mọi chân lý của số học. Mọi hệ như thế luôn luôn không đầy đủ. “Định lý Không đầy đủ thứ hai”, ít được nhắc đến hơn, nói rằng một lý thuyết số học không thể tự chứng minh tính chặt chẽ của nó.
Cần lưu ý rằng ý tưởng về những chân lý không thể chứng minh có sức quyến rũ vượt ra ngoài môn logic. Nhà toán học Mỹ Jordan Ellenberg đã gọi Gödel là “nhà toán học yêu thích của kẻ lãng mạn”
Cần lưu ý rằng ý tưởng về những chân lý không thể chứng minh có sức quyến rũ vượt ra ngoài môn logic. Nhà toán học Mỹ Jordan Ellenberg đã gọi Gödel là “nhà toán học yêu thích của kẻ lãng mạn”
Và như vậy, dù không quá nổi tiếng, công trình của ông đã truyền cảm hứng cho biết bao thứ: nó được trích dẫn trong những thảo luận về triết học, văn học, khoa học và cả thần học. Ông cũng được nói đến trong thơ ca (tác phẩm Tưởng nhớ Gödel của Hans Magnus Enzensberger) và âm nhạc (bản Concerto violin số hai của Hans Werner Henze có một đoạn phổ bài thơ của Enzensberger). Định lý nổi tiếng của ông nhiều lần được phổ biến cho đại chúng, đáng chú ý nhất là từ cuốn sách xuất bản năm 1979 của Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach: Sợi dây vàng vĩnh cửu; cuốn sách này đã đoạt giải Pulitzer và bán chạy một cách khó tin.
Ngài Tại sao
Trái với suy nghĩ của nhiều người quen biết, trong đó có cả Russell (hai người gặp nhau ở Princeton năm 1943), Gödel không phải người Do Thái. Ông sinh năm 1906, trong một gia đình giáo dân Luther nói tiếng Đức ở Brünn, vùng Moravia, khi đó thuộc đế quốc Áo-Hung, nay là Brno, thành phố lớn thứ hai của Cộng hòa Czech. Khác với những cư dân nói tiếng Đức khác trong vùng, Gödel không nói tiếng Czech (dù khả năng ngôn ngữ của ông không hề kém: ông thông thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp), và ngay cả sau khi nước Tiệp Khắc được thành lập năm 1918, ông vẫn coi mình là người Áo.
Thời nhỏ, ông là một cậu bé rụt rè, nhút nhát, sức khỏe yếu, nhưng kết quả trong học bạ thì xuất chúng. Ông ham tìm hiểu về mọi thứ, đến nỗi được đặt biệt danh “Herr Warum” (Ngài Tại sao). Có đúng một lần ông không đạt điểm tối đa, và thú vị làm sao, đó lại là điểm môn toán.
Năm 1924, ông theo học vật lý ở Đại học Vienna, và năm 1926 thì chuyển sang học toán. Cũng trong khoảng thời gian đó, ông được nhà toán học Hans Hahn mời tham gia các buổi gặp gỡ của Nhóm Vienna, một nhóm các triết gia do Moritz Schlick lãnh đạo. Nhóm này theo “chủ nghĩa thực chứng logic”, một triết học bác bỏ chủ nghĩa thần bí, tôn giáo và siêu hình, thay vào đó nhấn mạnh việc sử dụng logic toán học để giải quyết các vấn đề triết học, và kiên định với cái họ gọi là “quan điểm khoa học”.
Gödel đồng tình với quan điểm của họ về vai trò của logic toán đối với triết học, tuy nhiên, từ thời sinh viên cho tới khi qua đời, ông luôn giữ hai niềm tin trái ngược hoàn toàn với chủ nghĩa thực chứng. Thứ nhất là niềm tin vào Chúa Trời. Về cuối đời, ông có thổ lộ với bạn bè rằng mình có lẽ đã tìm ta một chứng minh sử dụng logic mô thái cho sự tồn tại của Chúa. Một bản nháp của chứng minh đó được tìm thấy trong tập Nachlass (di cảo) của ông, nó là một biến thể của “lý lẽ bản thể luận” của Leibniz, nó lập luận rằng sự tồn tại của Chúa là hệ quả tất yếu của các thuộc tính của Người. Gödel cũng tin vào kiếp sau. Sự lệch hướng thứ hai khỏi chủ nghĩa thực chứng, có lẽ quan trọng hơn đối với việc hình thành quan điểm học thuật của ông, là niềm tin có thể nói là “nồng nhiệt” của ông vào chủ nghĩa Platon trong toán học.
Chủ nghĩa Platon đối lập với chủ nghĩa kiến thiết. Sự đối lập giữa chúng có thể được thể hiện như sự khác biệt giữa việc coi một nhà toán học là một nhà phát minh và việc coi ông/bà ta là một nhà khám phá. Những người theo phái kiến thiết tin rằng toán học là sáng tạo của [trí tuệ] con người; còn những người theo phái Platon tin rằng nó là một tập hợp các chân lý do con người khám phá ra. Trở ngại với quan điểm kiến thiết là nó biến toán học thành một ngành hư cấu; trở ngại với quan điểm Platon là nó có vẻ bắt chúng ta chấp nhận sự tồn tại của các đối tượng toán học (và logic). Chúng ta có thể nhìn thấy năm con cừu, nhưng chúng ta không nhìn thấy số năm. Thế nhưng phe Platon khăng khăng rằng số năm tồn tại, theo một nghĩa nào đó. Và theo họ, cũng như Thiên Vương tinh vẫn luôn ở trong không gian chờ được Herschel tìm ra, các con số như năm, không, âm năm, căn bậc hai của âm một, cùng với những mối quan hệ giữa chúng, luôn ở đó chờ được các nhà toán học khám phá ra.
Hầu hết các thành viên của Nhóm Vienna đều bác bỏ chủ nghĩa Platon, họ cho rằng nó là một thứ siêu hình thuộc về một thế giới quan tiền khoa học. Với Gödel, nó lại chính là nền tảng tư tưởng của ông. Trong cuốn tiểu sử rất hấp dẫn Sự bất toàn: Chứng minh và nghịch lý của Kurt Gödel, tác giả Rebecca Goldstein viết rằng khi còn là sinh viên đại học, “Gödel đã phải lòng chủ nghĩa Platon.” (Bà cũng nhấn mạnh những mối liên hệ giữa niềm tin của Gödel vào chủ nghĩa Platon và định lý Không đầy đủ của ông; bản thân Gödel cũng khẳng định những mối liên hệ này).
Thời nhỏ, ông là một cậu bé rụt rè, nhút nhát, sức khỏe yếu, nhưng kết quả trong học bạ thì xuất chúng. Ông ham tìm hiểu về mọi thứ, đến nỗi được đặt biệt danh “Herr Warum” (Ngài Tại sao). Có đúng một lần ông không đạt điểm tối đa, và thú vị làm sao, đó lại là điểm môn toán.
Năm 1924, ông theo học vật lý ở Đại học Vienna, và năm 1926 thì chuyển sang học toán. Cũng trong khoảng thời gian đó, ông được nhà toán học Hans Hahn mời tham gia các buổi gặp gỡ của Nhóm Vienna, một nhóm các triết gia do Moritz Schlick lãnh đạo. Nhóm này theo “chủ nghĩa thực chứng logic”, một triết học bác bỏ chủ nghĩa thần bí, tôn giáo và siêu hình, thay vào đó nhấn mạnh việc sử dụng logic toán học để giải quyết các vấn đề triết học, và kiên định với cái họ gọi là “quan điểm khoa học”.
Gödel đồng tình với quan điểm của họ về vai trò của logic toán đối với triết học, tuy nhiên, từ thời sinh viên cho tới khi qua đời, ông luôn giữ hai niềm tin trái ngược hoàn toàn với chủ nghĩa thực chứng. Thứ nhất là niềm tin vào Chúa Trời. Về cuối đời, ông có thổ lộ với bạn bè rằng mình có lẽ đã tìm ta một chứng minh sử dụng logic mô thái cho sự tồn tại của Chúa. Một bản nháp của chứng minh đó được tìm thấy trong tập Nachlass (di cảo) của ông, nó là một biến thể của “lý lẽ bản thể luận” của Leibniz, nó lập luận rằng sự tồn tại của Chúa là hệ quả tất yếu của các thuộc tính của Người. Gödel cũng tin vào kiếp sau. Sự lệch hướng thứ hai khỏi chủ nghĩa thực chứng, có lẽ quan trọng hơn đối với việc hình thành quan điểm học thuật của ông, là niềm tin có thể nói là “nồng nhiệt” của ông vào chủ nghĩa Platon trong toán học.
Chủ nghĩa Platon đối lập với chủ nghĩa kiến thiết. Sự đối lập giữa chúng có thể được thể hiện như sự khác biệt giữa việc coi một nhà toán học là một nhà phát minh và việc coi ông/bà ta là một nhà khám phá. Những người theo phái kiến thiết tin rằng toán học là sáng tạo của [trí tuệ] con người; còn những người theo phái Platon tin rằng nó là một tập hợp các chân lý do con người khám phá ra. Trở ngại với quan điểm kiến thiết là nó biến toán học thành một ngành hư cấu; trở ngại với quan điểm Platon là nó có vẻ bắt chúng ta chấp nhận sự tồn tại của các đối tượng toán học (và logic). Chúng ta có thể nhìn thấy năm con cừu, nhưng chúng ta không nhìn thấy số năm. Thế nhưng phe Platon khăng khăng rằng số năm tồn tại, theo một nghĩa nào đó. Và theo họ, cũng như Thiên Vương tinh vẫn luôn ở trong không gian chờ được Herschel tìm ra, các con số như năm, không, âm năm, căn bậc hai của âm một, cùng với những mối quan hệ giữa chúng, luôn ở đó chờ được các nhà toán học khám phá ra.
Hầu hết các thành viên của Nhóm Vienna đều bác bỏ chủ nghĩa Platon, họ cho rằng nó là một thứ siêu hình thuộc về một thế giới quan tiền khoa học. Với Gödel, nó lại chính là nền tảng tư tưởng của ông. Trong cuốn tiểu sử rất hấp dẫn Sự bất toàn: Chứng minh và nghịch lý của Kurt Gödel, tác giả Rebecca Goldstein viết rằng khi còn là sinh viên đại học, “Gödel đã phải lòng chủ nghĩa Platon.” (Bà cũng nhấn mạnh những mối liên hệ giữa niềm tin của Gödel vào chủ nghĩa Platon và định lý Không đầy đủ của ông; bản thân Gödel cũng khẳng định những mối liên hệ này).
Năm 1930, Gödel bảo vệ tiến sỹ, và luận văn của ông, sau khi được soát lại, được xuất bản cùng năm dưới tiêu đề “Tính đầy đủ của hệ tiên đề của giải tích hàm logic”. Nó chứng minh rằng “giải tích hàm logic”, hay “logic cấp một” trong ngôn ngữ ngày nay, là đầy đủ. Điều đó có nghĩa là mọi chân lý logic biểu diễn được bằng ngôn ngữ logic vị từ cấp một (một hệ thống các ký hiệu và quy tắc được các nhà logic hiện đại dùng để phân tích các mối liên hệ giữa các mệnh đề chủ-vị) đều có thể được chứng minh trong một hệ xây dựng từ tiên đề. Tuy nhiên, điều này không đúng cho các mệnh đề số học, vì số học không biểu diễn được bằng logic vị từ cấp một. Để biểu diễn số học, cần có một thứ logic mạnh hơn, chẳng hạn thứ logic được Russell và Whitehead dùng trong Principia Mathematica.
Sau khi nhận bằng tiến sỹ, Gödel bắt đầu ngay với nghiên cứu mà về sau cho ra định lý nổi tiếng của ông. Ông chỉ mất vài tháng để nhận ra công trình của mình có thể dẫn đến đâu, và mùa thu năm 1930, ông đã sẵn sàng công bố kết quả về sự không đầy đủ. Ông công bố vào ngày cuối của Hội thảo Königsberg về nhận thức luận của các khoa học chính xác, ngày 7 tháng 9. Nhà logic Jaakko Hintikka viết “vị thế của Gödel thể hiện ở việc thời điểm quan trọng nhất trong sự nghiệp của ông là thời điểm quan trọng nhất của lịch sử logic thế kỷ 20, và có thể của lịch sử logic nói chung.” Tuy nhiên, phải mất một thời gian để tầm quan trọng của công bố này được thừa nhận. Chính ở hội thảo, nó được đón nhận bằng sự im lặng. Người có mặt duy nhất nhận ra sự quan trọng của nó là nhà toán học và bác học người Hungary John von Neumann, người đặt nền móng cho nhiều lĩnh vực, từ lý thuyết trò chơi đến cơ học chất lưu. Khi đó, John von Neumann vừa mới được bổ nhiệm đến Viện Nghiên cứu cao cấp Princeton. Chứng minh được công bố sau đó vài tháng, vào tháng 1 năm 1931, trong sự mong đợi của mọi người, và chính Gödel cũng được mời đón rất nhiều. Trong hai năm 1933-1934, ông được mời sang Princeton để giảng về kết quả của mình. Những bài giảng này là công bố đầu tiên bằng tiếng Anh của định lý.
Sau khi nhận bằng tiến sỹ, Gödel bắt đầu ngay với nghiên cứu mà về sau cho ra định lý nổi tiếng của ông. Ông chỉ mất vài tháng để nhận ra công trình của mình có thể dẫn đến đâu, và mùa thu năm 1930, ông đã sẵn sàng công bố kết quả về sự không đầy đủ. Ông công bố vào ngày cuối của Hội thảo Königsberg về nhận thức luận của các khoa học chính xác, ngày 7 tháng 9. Nhà logic Jaakko Hintikka viết “vị thế của Gödel thể hiện ở việc thời điểm quan trọng nhất trong sự nghiệp của ông là thời điểm quan trọng nhất của lịch sử logic thế kỷ 20, và có thể của lịch sử logic nói chung.” Tuy nhiên, phải mất một thời gian để tầm quan trọng của công bố này được thừa nhận. Chính ở hội thảo, nó được đón nhận bằng sự im lặng. Người có mặt duy nhất nhận ra sự quan trọng của nó là nhà toán học và bác học người Hungary John von Neumann, người đặt nền móng cho nhiều lĩnh vực, từ lý thuyết trò chơi đến cơ học chất lưu. Khi đó, John von Neumann vừa mới được bổ nhiệm đến Viện Nghiên cứu cao cấp Princeton. Chứng minh được công bố sau đó vài tháng, vào tháng 1 năm 1931, trong sự mong đợi của mọi người, và chính Gödel cũng được mời đón rất nhiều. Trong hai năm 1933-1934, ông được mời sang Princeton để giảng về kết quả của mình. Những bài giảng này là công bố đầu tiên bằng tiếng Anh của định lý.
Hiện thực và cái bóng
Gödel ở lại Vienna suốt thập niên 1930, giảng dạy ở trường đại học và tiếp tục nghiên cứu logic toán học. Công việc ở trường đại học bị gián đoạn mấy lần vì đau ốm và rối loạn tâm thần. Một phần trong đó, theo bạn bè, gia đình và bản thân Gödel, liên quan đến mâu thuẫn gây ra bởi tình yêu ông dành cho Adele Nimbursky. Cha mẹ, nhất là cha ông, phản đối mối tình này vì bà lớn hơn ông sáu tuổi, đã ly dị, và là một vũ công. Cuối cùng, năm 1938, họ vẫn lấy nhau, chuyển sang Princeton và sống ở đó cho tới khi ông qua đời vào năm 1978. Năm 1947, ông nộp đơn xin quốc tịch Mỹ và mặc dù được chấp nhận nhưng buổi phỏng vấn quốc tịch suýt nữa trở thành kỳ thi trượt duy nhất trong đời ông. Ông tuyên bố đã nghiên cứu chi tiết Hiến pháp Mỹ – chắc hẳn là sau khi mổ xẻ từng mệnh đề một, và có lẽ kiểm chứng chúng bằng các thí nghiệm tưởng tượng trong những viễn cảnh điên rồ cho phép tổng thống vượt khỏi tầm kiểm soát – ông đã tìm ra cách biến nước Mỹ, một cách hợp pháp, thành một chế độ độc tài.
Dù gì thì ông cũng yên ổn ở lại Princeton, chuyển hướng quan tâm sang triết học một cách công khai hơn, và dù viết nhiều nhưng ông công bố rất ít bởi quá cầu toàn. Những bài báo được ông công bố, trong đó nổi bật nhất là Logic toán của Russell (1944) và Bài toán liên tục của Cantor là gì? (1947) thể hiện cái nhìn Platon triệt để của ông về toán học. Trong bài báo triết học cuối cùng được ông công bố, Một nhận xét về mối quan hệ giữa thuyết tương đối và triết học duy tâm (1949), Gödel đưa ra một nghiệm mới cho phương trình trường trong Thuyết tương đối rộng của Einstein. Phương trình trường của Einstein có nhiều nghiệm, mỗi nghiệm mô tả một mô hình không – thời gian khác nhau. Nghiệm của Gödel (mà theo chính Einstein là một đóng góp quan trọng cho vật lý lý thuyết) cho một mô hình vũ trụ tự quay, trong đó du hành ngược thời gian là khả thi.
Gödel sử dụng điều này để lập luận rằng thời gian không phải khách quan. Plato đã đúng: các đối tượng toán học thật hơn là thế giới không – thời gian mà chúng ta trải nghiệm. Rốt cuộc, giống như ngụ ngôn nổi tiếng của Plato, chúng ta sống trong một cái hang, và những thứ chúng ta có kinh nghiệm tiếp xúc chỉ là những cái bóng của thực tế. Chấm hết cho chủ nghĩa thực chứng.
Trong những năm cuối đời, Gödel gần như chỉ còn tập trung quan tâm vào triết học. Năm 1959, ông bắt đầu nghiên cứu sâu các công trình của Leibniz và Husserl. Đến lúc này, ông đã có gần một thập kỷ không công bố gì, và sẽ không công bố trong gần hai mươi năm nữa, cho đến tận khi qua đời. Phần lớn hiểu biết của chúng ta về triết lý của Gödel trong nửa sau cuộc đời đến từ các cuộc đàm luận được người bạn Hao Wang của ông ghi lại, và từ các bài báo trong Nachlass, nay đã được xuất bản thành 5 tập Tuyển tập Gödel. Năm 1974, được phép của Gödel, Wang xuất bản một số đoạn trích các cuộc đối thoại giữa ông và nhà logic thành cuốn Từ Toán học tới Triết học. Sau khi Gödel mất, Wang tiếp tục xuất bản Suy nghĩ về Kurt Gödel (1987) và Một hành trình logic: từ Gödel tới Triết học (1996).
Dù gì thì ông cũng yên ổn ở lại Princeton, chuyển hướng quan tâm sang triết học một cách công khai hơn, và dù viết nhiều nhưng ông công bố rất ít bởi quá cầu toàn. Những bài báo được ông công bố, trong đó nổi bật nhất là Logic toán của Russell (1944) và Bài toán liên tục của Cantor là gì? (1947) thể hiện cái nhìn Platon triệt để của ông về toán học. Trong bài báo triết học cuối cùng được ông công bố, Một nhận xét về mối quan hệ giữa thuyết tương đối và triết học duy tâm (1949), Gödel đưa ra một nghiệm mới cho phương trình trường trong Thuyết tương đối rộng của Einstein. Phương trình trường của Einstein có nhiều nghiệm, mỗi nghiệm mô tả một mô hình không – thời gian khác nhau. Nghiệm của Gödel (mà theo chính Einstein là một đóng góp quan trọng cho vật lý lý thuyết) cho một mô hình vũ trụ tự quay, trong đó du hành ngược thời gian là khả thi.
Gödel sử dụng điều này để lập luận rằng thời gian không phải khách quan. Plato đã đúng: các đối tượng toán học thật hơn là thế giới không – thời gian mà chúng ta trải nghiệm. Rốt cuộc, giống như ngụ ngôn nổi tiếng của Plato, chúng ta sống trong một cái hang, và những thứ chúng ta có kinh nghiệm tiếp xúc chỉ là những cái bóng của thực tế. Chấm hết cho chủ nghĩa thực chứng.
Trong những năm cuối đời, Gödel gần như chỉ còn tập trung quan tâm vào triết học. Năm 1959, ông bắt đầu nghiên cứu sâu các công trình của Leibniz và Husserl. Đến lúc này, ông đã có gần một thập kỷ không công bố gì, và sẽ không công bố trong gần hai mươi năm nữa, cho đến tận khi qua đời. Phần lớn hiểu biết của chúng ta về triết lý của Gödel trong nửa sau cuộc đời đến từ các cuộc đàm luận được người bạn Hao Wang của ông ghi lại, và từ các bài báo trong Nachlass, nay đã được xuất bản thành 5 tập Tuyển tập Gödel. Năm 1974, được phép của Gödel, Wang xuất bản một số đoạn trích các cuộc đối thoại giữa ông và nhà logic thành cuốn Từ Toán học tới Triết học. Sau khi Gödel mất, Wang tiếp tục xuất bản Suy nghĩ về Kurt Gödel (1987) và Một hành trình logic: từ Gödel tới Triết học (1996).
Vốn dễ đau ốm, cả về thể chất lẫn tâm thần, trong hai mươi năm cuối đời, Gödel ngày càng yếu, gầy và bị rối loạn. Ông rất lo lắng về sức khỏe, nhưng hầu như không tin tưởng ai ngoài vợ. Ông đặt hẹn khám bệnh nhưng không đến, hoặc có đi khám nhưng không uống thuốc. Năm 1976, ông nghỉ hưu ở Viện Princeton. Một năm sau, Adele phải phẫu thuật và nằm viện. Vì bà là người duy nhất nấu ăn được cho Gödel, việc bà nằm viện thật tai hại cho sức khỏe của ông. Ông không chịu ăn, kể cả sau khi được đưa vào bệnh viện. Ông mất ngày 14 tháng 7 năm 1978. Giấy chứng tử của ông ghi nguyên nhân qua đời là “thiếu dinh dưỡng và đói lả do rối loạn nhân cách.”
Những vòng lặp logic
Cuốn sách Gödel, Escher, Bach: Sợi dây vàng vĩnh cửu được Hofstadter xuất bản một năm sau đó, và mang lại cho ông một chút danh tiếng sau khi qua đời. Đó không phải là một cuốn sách dễ đọc, nó dày gần 800 trang, và nói về logic, toán học, triết học, sinh học, tâm lý học, vật lý và ngôn ngữ học. Nhưng cái lõi của nó là sự liên kết tinh tế mà Hofstadter thiết lập nên giữa âm nhạc của Bach, các bức tranh của nghệ sỹ người Hà Lan Escher, và “định lý Không đầy đủ thứ nhất” của Gödel, thông qua khái niệm “vòng lặp kỳ dị”, một cách tuyệt vời để truyền tải “hương vị” của chứng minh của kết quả ảnh hưởng nhất của Gödel.
“Định lý Không đầy đủ thứ nhất” có nội dung như sau. Trong mọi hệ số học được xây dựng chặt chẽ từ một hệ tiên đề, tồn tại ít nhất một mệnh đề không thể được chứng minh, cũng không thể được phủ định [trong hệ đó]. Hơn nữa (ý này không phải một phần của định lý, mà là nhận xét của Gödel về nó), mệnh đề đó là đúng. Nói cách khác, kế hoạch của Russell và Whitehead, cũng như mọi hy vọng xây dựng toàn bộ số học từ một hệ logic, đã phá sản. Không tồn tại một hệ tiên đề đầy đủ và chặt chẽ của số học. Hơn nữa, sự không tồn tại của một hệ như thế bản thân nó lại là một chân lý, một hệ quả của một định lý logic toán học.
Khái niệm “vòng lặp kỳ dị” của Hofstadter giúp giải thích vì sao lại thế. Thí dụ đầu tiên của ông là Canon per Tonos, bản canon “bất tận” của Bach. Mỗi lần bản nhạc này lặp lại từ đầu, cung lại tăng thêm một âm, cho tới khi quay lại cung Đô thứ. Vòng lặp kỳ dị nằm ở chỗ bản nhạc như đạt được một điều không tưởng: nó không ngừng đi lên, rồi bằng cách nào đó quay trở lại đúng điểm xuất phát. Các tác phẩm của Escher thể hiện một hiệu ứng tương tự bằng hình ảnh. Chẳng hạn, trong tác phẩm in thạch bản nổi tiếng Thác nước (1969), chúng ta thấy nước chảy từ trên xuống dưới sáu lần, để rồi quay lại vị trí ban đầu. Trong Hai bàn tay vẽ (1948), Escher tạo ra cái được Hofstadter gọi là “vòng lặp kỳ dị hai bước”: bàn tay thứ nhất vẽ bàn tay thứ hai, bàn tay thứ hai lại vẽ bàn tay thứ nhất.
“Vòng lặp kỳ dị” của Gödel là một mệnh đề số học tự chỉ, tức là một mệnh đề số học nói về chính nó. Các mệnh đề tự chỉ trong ngôn ngữ thông thường đã được biết đến từ lâu, một thí dụ nổi tiếng là câu nói của triết gia người đảo Crete Epimenides: “Mọi người Crete đều dối trá”. Ông ta có nói thật không? Nếu ông nói thật, thì ông không thể nói thật. Hoặc ngắn gọn hơn, hãy xét mệnh đề sau: “Câu này sai.” Nếu nó đúng, thì nó sai, và nếu nó sai, thì nó đúng. Hofstadter gọi điều này là “vòng lặp kỳ dị một bước”.
Bạn bắt đầu thấy sự tự chỉ có thể đưa ta tới một nơi kỳ lạ và đầy nghịch lý của logic. Thế nhưng vẫn khó mà hiểu được làm thế nào một mệnh đề số học có thể nói về chính nó. Một mệnh đề số học nói về những con số, chẳng hạn mệnh đề “7 + 5 = 12” nói về mối liên hệ giữa các số 7, 5, và 12. Nó không nói về mệnh đề “7 + 5 = 12”. Những mệnh đề về mệnh đề số học được các nhà logic và các nhà toán học gọi là những “mệnh đề siêu toán học” (metamathematics). Thí dụ: “Mệnh đề ‘7 + 5 = 12’ là chứng minh được trong hệ xây dựng bởi tiên đề mà Russell và Whitehead tạo nên trong Principia Mathematica” là một mệnh đề siêu toán học.
“Vòng lặp kỳ dị” ở trung tâm chứng minh định lý của Gödel là một dạng phiên bản số học của nghịch lý Epimenides ở trên, tuy nhiên cần hiểu rõ rằng kết quả không phải là một nghịch lý, mà là một định lý. Đó là định lý về sự không đầy đủ tất yếu của các hệ tiên đề số học chặt chẽ, nghĩa là trong mọi hệ số học [xây dựng từ tiên đề một cách] chặt chẽ, tồn tại ít nhất một chân lý không thể được chứng minh.
Để chứng minh định lý này, Gödel chỉ ra cách xây dựng một mệnh đề về các con số, tức là một mệnh đề số học, và về cả chính nó. Ông sử dụng một phương pháp cực kỳ khéo léo, ngày nay được gọi là “phép đánh số của Gödel”: ông gán một con số duy nhất cho mỗi ký hiệu (+, -, 1, 2, v.v.), mỗi dãy ký hiệu (trong số này có tất cả các mệnh đề, thí dụ “2 + 2 = 4”), và tất cả các dãy gồm các dãy ký hiệu (trong đó có tất cả các chứng minh). Bằng cách dán nhãn này, mọi mệnh đề số học được biểu diễn bằng một con số duy nhất, do đó có thể tạo ra những mệnh đề số học (mệnh đề về các con số) nói về những mệnh đề số học.
Như thế, ông chỉ ra rằng một mệnh đề số học về hai con số có thể cũng là một mệnh đề siêu toán học về tính chứng minh được hay không của một mệnh đề số học nào đó trong một hệ, chẳng hạn Principia Mathematica. Điều này cho phép ông tạo ra sự tự chỉ cần thiết để có một “vòng lặp kỳ dị” và tạo ra một mệnh đề số học có nội dung, theo kiểu của Epimenides: “Tôi không thể được chứng minh trong hệ Principia Mathematica”.
Nếu hệ Principia Mathematica là chặt chẽ, thì mệnh đề trên phải đúng. Vì sao? Vì nếu nó sai, thì nó phải chứng minh được trong hệ Principia Mathematica, và vì nó nói rằng nó không chứng minh được, điều này tạo ra mâu thuẫn. Như vậy, nếu hệ là chặt chẽ, thì mệnh đề phải đúng. Nhưng nếu nó đúng, và (đây là điểm mấu chốt) nó là một mệnh đề số học, thì nó là một chân lý số học: một chân lý số học không thể được chứng minh trong hệ Principia Mathematica, chính bởi vì nó đúng. Tóm lại, nếu một hệ số học là chặt chẽ, thì nó chắc chắn không đầy đủ.
“Định lý Không đầy đủ thứ nhất” có nội dung như sau. Trong mọi hệ số học được xây dựng chặt chẽ từ một hệ tiên đề, tồn tại ít nhất một mệnh đề không thể được chứng minh, cũng không thể được phủ định [trong hệ đó]. Hơn nữa (ý này không phải một phần của định lý, mà là nhận xét của Gödel về nó), mệnh đề đó là đúng. Nói cách khác, kế hoạch của Russell và Whitehead, cũng như mọi hy vọng xây dựng toàn bộ số học từ một hệ logic, đã phá sản. Không tồn tại một hệ tiên đề đầy đủ và chặt chẽ của số học. Hơn nữa, sự không tồn tại của một hệ như thế bản thân nó lại là một chân lý, một hệ quả của một định lý logic toán học.
Khái niệm “vòng lặp kỳ dị” của Hofstadter giúp giải thích vì sao lại thế. Thí dụ đầu tiên của ông là Canon per Tonos, bản canon “bất tận” của Bach. Mỗi lần bản nhạc này lặp lại từ đầu, cung lại tăng thêm một âm, cho tới khi quay lại cung Đô thứ. Vòng lặp kỳ dị nằm ở chỗ bản nhạc như đạt được một điều không tưởng: nó không ngừng đi lên, rồi bằng cách nào đó quay trở lại đúng điểm xuất phát. Các tác phẩm của Escher thể hiện một hiệu ứng tương tự bằng hình ảnh. Chẳng hạn, trong tác phẩm in thạch bản nổi tiếng Thác nước (1969), chúng ta thấy nước chảy từ trên xuống dưới sáu lần, để rồi quay lại vị trí ban đầu. Trong Hai bàn tay vẽ (1948), Escher tạo ra cái được Hofstadter gọi là “vòng lặp kỳ dị hai bước”: bàn tay thứ nhất vẽ bàn tay thứ hai, bàn tay thứ hai lại vẽ bàn tay thứ nhất.
“Vòng lặp kỳ dị” của Gödel là một mệnh đề số học tự chỉ, tức là một mệnh đề số học nói về chính nó. Các mệnh đề tự chỉ trong ngôn ngữ thông thường đã được biết đến từ lâu, một thí dụ nổi tiếng là câu nói của triết gia người đảo Crete Epimenides: “Mọi người Crete đều dối trá”. Ông ta có nói thật không? Nếu ông nói thật, thì ông không thể nói thật. Hoặc ngắn gọn hơn, hãy xét mệnh đề sau: “Câu này sai.” Nếu nó đúng, thì nó sai, và nếu nó sai, thì nó đúng. Hofstadter gọi điều này là “vòng lặp kỳ dị một bước”.
Bạn bắt đầu thấy sự tự chỉ có thể đưa ta tới một nơi kỳ lạ và đầy nghịch lý của logic. Thế nhưng vẫn khó mà hiểu được làm thế nào một mệnh đề số học có thể nói về chính nó. Một mệnh đề số học nói về những con số, chẳng hạn mệnh đề “7 + 5 = 12” nói về mối liên hệ giữa các số 7, 5, và 12. Nó không nói về mệnh đề “7 + 5 = 12”. Những mệnh đề về mệnh đề số học được các nhà logic và các nhà toán học gọi là những “mệnh đề siêu toán học” (metamathematics). Thí dụ: “Mệnh đề ‘7 + 5 = 12’ là chứng minh được trong hệ xây dựng bởi tiên đề mà Russell và Whitehead tạo nên trong Principia Mathematica” là một mệnh đề siêu toán học.
“Vòng lặp kỳ dị” ở trung tâm chứng minh định lý của Gödel là một dạng phiên bản số học của nghịch lý Epimenides ở trên, tuy nhiên cần hiểu rõ rằng kết quả không phải là một nghịch lý, mà là một định lý. Đó là định lý về sự không đầy đủ tất yếu của các hệ tiên đề số học chặt chẽ, nghĩa là trong mọi hệ số học [xây dựng từ tiên đề một cách] chặt chẽ, tồn tại ít nhất một chân lý không thể được chứng minh.
Để chứng minh định lý này, Gödel chỉ ra cách xây dựng một mệnh đề về các con số, tức là một mệnh đề số học, và về cả chính nó. Ông sử dụng một phương pháp cực kỳ khéo léo, ngày nay được gọi là “phép đánh số của Gödel”: ông gán một con số duy nhất cho mỗi ký hiệu (+, -, 1, 2, v.v.), mỗi dãy ký hiệu (trong số này có tất cả các mệnh đề, thí dụ “2 + 2 = 4”), và tất cả các dãy gồm các dãy ký hiệu (trong đó có tất cả các chứng minh). Bằng cách dán nhãn này, mọi mệnh đề số học được biểu diễn bằng một con số duy nhất, do đó có thể tạo ra những mệnh đề số học (mệnh đề về các con số) nói về những mệnh đề số học.
Như thế, ông chỉ ra rằng một mệnh đề số học về hai con số có thể cũng là một mệnh đề siêu toán học về tính chứng minh được hay không của một mệnh đề số học nào đó trong một hệ, chẳng hạn Principia Mathematica. Điều này cho phép ông tạo ra sự tự chỉ cần thiết để có một “vòng lặp kỳ dị” và tạo ra một mệnh đề số học có nội dung, theo kiểu của Epimenides: “Tôi không thể được chứng minh trong hệ Principia Mathematica”.
Nếu hệ Principia Mathematica là chặt chẽ, thì mệnh đề trên phải đúng. Vì sao? Vì nếu nó sai, thì nó phải chứng minh được trong hệ Principia Mathematica, và vì nó nói rằng nó không chứng minh được, điều này tạo ra mâu thuẫn. Như vậy, nếu hệ là chặt chẽ, thì mệnh đề phải đúng. Nhưng nếu nó đúng, và (đây là điểm mấu chốt) nó là một mệnh đề số học, thì nó là một chân lý số học: một chân lý số học không thể được chứng minh trong hệ Principia Mathematica, chính bởi vì nó đúng. Tóm lại, nếu một hệ số học là chặt chẽ, thì nó chắc chắn không đầy đủ.
Khám phá và một đời người
Nhưng vì sao ai đó không làm về logic phải quan tâm? Một số trí tuệ vừa đặc biệt giỏi toán, vừa đặc biệt sáng tạo, đã đề xuất một số ứng dụng quan trọng. Chẳng hạn, nhà toán học và vật lý lý thuyết Roger Penrose lập luận rằng định lý của Gödel bác bỏ thuyết “AI mạnh” (Ý tưởng rằng trí tuệ con người về bản chất giống như các chương trình máy tính – ND): bộ não người không phải là máy tính, và do đó trí tuệ máy tính không thể nào tái tạo hoàn toàn bộ não người. Nhưng có một cách khác, khái quát hơn, để hiểu về tầm quan trọng của định lý, và nó bắt đầu với chủ nghĩa Platon. Ngay chính Gödel cũng không cho rằng kết quả về tính không đầy đủ của mình chứng minh rằng chủ nghĩa Platon là đúng, nhưng ông tin rằng nó có ủng hộ thuyết này. Bằng cách nào? Bằng cách hạ thấp một yếu tố chống Platon quan trọng: quan điểm rằng trong toán học, tính chân lý và tính chứng minh được là một.
Quan điểm này, rằng tính chân lý và tính chứng minh được là tương đương, gắn liền với hình ảnh nhà toán học như một nhà phát minh chứ không phải nhà khám phá. Nếu – thực ra điều này đã được “định lý Không hoàn hảo” khẳng định chứ không còn là giả định – trong mọi hệ đều có một mệnh đề số học đúng nhưng không thể được chứng minh, thì ta có thể suy ra rằng tính chân lý và tính chứng minh được không thể là cùng một thứ. Trừ phi phe chống Platon tìm thấy sai sót trong chứng minh của Gödel, họ phải tìm cách diễn giải nó mà không phải chấp nhận ý tưởng rằng tính chân lý của một mệnh đề số học là độc lập với chứng minh của nó, một ý tưởng rất gần với quan niệm Platon rằng các chân lý số học, theo nghĩa nào đó, vẫn “ở đó”.
Gần 80 năm sau Hội thảo Königsberg, việc thách thức trên có thể được vượt qua hay không vẫn còn gây tranh cãi. Có thể nhiều nhà toán học và nhà triết học đơn giản là không biết nói gì khi đối mặt với nó. Cả Russell và Wittgenstein – những người thông minh nhất thế hệ của họ, đều không hiểu nổi nó. Vì vậy, nếu bạn thấy công trình của Gödel và các hệ quả của nó quá khó hiểu, đừng lo lắng, bạn không cô đơn. Dù sao đi nữa, có vẻ như sẽ đến lúc thiên tài gày gò này có được vị trí xứng đáng trong công chúng, bên cạnh người bạn thân Einstein, và mối quen biết ngắn ngủi Russell. Cả hai đã tạo cảm hứng và bối cảnh cho những đóng góp đặc biệt khó hiểu, mang tính triết học hóc búa, và có tầm quan trọng nền tảng của ông cho đời sống học thuật.
Quan điểm này, rằng tính chân lý và tính chứng minh được là tương đương, gắn liền với hình ảnh nhà toán học như một nhà phát minh chứ không phải nhà khám phá. Nếu – thực ra điều này đã được “định lý Không hoàn hảo” khẳng định chứ không còn là giả định – trong mọi hệ đều có một mệnh đề số học đúng nhưng không thể được chứng minh, thì ta có thể suy ra rằng tính chân lý và tính chứng minh được không thể là cùng một thứ. Trừ phi phe chống Platon tìm thấy sai sót trong chứng minh của Gödel, họ phải tìm cách diễn giải nó mà không phải chấp nhận ý tưởng rằng tính chân lý của một mệnh đề số học là độc lập với chứng minh của nó, một ý tưởng rất gần với quan niệm Platon rằng các chân lý số học, theo nghĩa nào đó, vẫn “ở đó”.
Gần 80 năm sau Hội thảo Königsberg, việc thách thức trên có thể được vượt qua hay không vẫn còn gây tranh cãi. Có thể nhiều nhà toán học và nhà triết học đơn giản là không biết nói gì khi đối mặt với nó. Cả Russell và Wittgenstein – những người thông minh nhất thế hệ của họ, đều không hiểu nổi nó. Vì vậy, nếu bạn thấy công trình của Gödel và các hệ quả của nó quá khó hiểu, đừng lo lắng, bạn không cô đơn. Dù sao đi nữa, có vẻ như sẽ đến lúc thiên tài gày gò này có được vị trí xứng đáng trong công chúng, bên cạnh người bạn thân Einstein, và mối quen biết ngắn ngủi Russell. Cả hai đã tạo cảm hứng và bối cảnh cho những đóng góp đặc biệt khó hiểu, mang tính triết học hóc búa, và có tầm quan trọng nền tảng của ông cho đời sống học thuật.
No comments:
Post a Comment